我们在高中时常把力学的研究对象近似为“质点”这样的理想模型。在数学中,描述一个点的位置可以将一个坐标系引入其中。如图中一点的坐标可表示为:
![{\displaystyle (x\,,\,y\,,\,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b9781d06ccec0d04d4a88271fe9f090ceea290)
为了便于使用矢量[1]方法解决物理问题,我们以原点为起点,质点为终点建立该点的位置矢量[2]r,则有:
![{\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac595da78365d804fa5967ce929fb67e99fd113)
其中i、j、k分别为x轴、y轴、z轴上的单位矢量。
对于位置矢量r而言,其大小为:
![{\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e1ee90738a95c67accb604a40c882962fd3deb)
设α、β、γ分别为r与x轴、y轴、z轴的夹角,则r相对于原点的位置可描述为:
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x}{|\mathbf {r} |}}\ \cos \beta ={\frac {y}{|\mathbf {r} |}}\ \cos \gamma ={\frac {z}{|\mathbf {r} |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77f1f8c12cdd30046b80542ac754d69ffe20c66)
上式有如下关系:
![{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05f81fa38a44e1a13efed913157942d926334f2)
当质点运动时,可以使用其位置矢量关于时间的方程描述该质点的轨迹,即:
![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a8fdcb23819ac04dd491e370474f33cf4e90fc)
这就是质点的运动学方程,凭此可以得出质点在任意时刻的位置。
可以得到上式的正交分解式:
![{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\cdot \mathbf {i} +y(t)\cdot \mathbf {j} +z(t)\cdot \mathbf {k} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd571b555000ba0549871b7a97c3b572beda531)
同上,i、j、k分别为x轴、y轴、z轴上的单位矢量。所以得到x(t)、y(t)、z(t)就能求出r(t),反之亦然。所以称:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\\\y=y(t)\\\\z=z(t)\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6c49607bc2b7078bf2950783ac46f41a7fda6d)
为质点运动学方程的标量形式。
当质点仅在平面xOy上运动时,它的运动学方程为:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\\\y=y(t)\\\\z=0\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c5d52cd7236b2bd9fa59e68fcbbe512302b83f)
消去t,可得:
![{\displaystyle y=y(x),\,z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75c5c05883ae8d103e34c3fba31ba4f0e3d1fd7)
即质点的轨迹方程。
- ↑ 即向量。
- ↑ 又称矢径