離散數學/集合論

離散數學
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定義

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簡單來說,所謂的一個集合,就是將數個對象歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。 一般來講,集合是具有某種特性的事物的整體,或是一些確認對象的匯集。

「對象」可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或數字等。

「特性」必須明確定義,比如

×××是汉字

下面這種就是沒有明確定義,因此不能用來描述集合:

×××这个汉字很难写

構成集合的事物或對象稱作元素或是成員

集合表示法

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  • 要列出集合的元素,我們將它們用大括號括起來,用逗號分隔。例如:
 
  • 集合的元素也可以用自然語言描述:
{介乎-3和3之间的整数}
  • 集合建構式符號可用於描述元素過多無法悉數列出的集合,其中元素用字母 代替:
{ | 为整数且 }
  • 等價於
 
  • 符號∈和∉分別表示屬於和不屬於:
狗∈{动物},北京∉{欧洲城市}
  • 集合可以包含無限數量的元素,例如質數集,它的元素有無窮多個。省略號用於表示「以此類推」:
 
  • 大寫字母  ……通常表示集合
  • 小寫字母  ……通常表示元素

特殊集合

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全集

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全集包含了所有的研究對象和集合,數學符號為  

空集

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空集是不含任何元素的集合,數學符號為{}或∅。

特殊數集

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有幾個集合經常被使用,有專門的符號來表示。

自然數集

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數學中,自然數指用於計數和定序的數字。自然數集 表示, 

整數集

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整數,是序列中所有的數的統稱,包括負整數、零與正整數。整數集 表示, 

有理數集

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數學上,可以表達為兩個整數比的數(  )被定義為有理數,例如 、0.75。整數和分數統稱為有理數。有理數集 表示。

無理數集

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與有理數對應的是無理數,如 無法用整數比表示。

實數集

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在數學中,實數是有理數和無理數的總稱。實數集 表示。