初等数论/其馀不定方程

毕氏定理编辑

若 $a,b$ 为直角三角形的两边(股)，而 $c$ 为斜边，则必存在关系式： $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，若 $a,b,c$ 皆为正整数，则称数组 $a,b,c$ 为毕氏三元数，另一方面，若 $a,b,c$ 为正整数，则 $a,b,c$ 可由以下关系式给出(以下 $u,v$ 亦为整数)：

$a=u^{2}-v^{2}$

$b=2uv$

$c=u^{2}+v^{2}$

其中若 $(u,v)=1$ ，则 $(a,b,c)=1$

对于上述毕氏三元数的关系式的证明：

此外，有个由毕氏定理衍生出来的定理：

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ ，对于大于等于 $3$ 的正整数 $n$ ，找不到非零的整数 $a,b,c$ ，使得此关系式成立(意即若 $a,b,c$ 皆为整数，在 $n\geq 3$ 的状况下，至少有一个为零此关系式才成立)

这个定理叫费马最后定理

四平方和定理编辑

每个自然数可表示成最多 $4$ 个平方数的和，即对于所有的自然数 $n$ ，必可找到四个自然数(包括 $0$ ) $a,b,c,d$ ，使 $n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 成立，另一方面，若两个数字可表为四个平方数的和，则他们的乘积亦为四个平方数的和，因此若要证明四平方数定理对每个自然数都成立，那么只需要证明这个定理对所有质数都成立就可以了。以下为四平方和定理的证明：