微分几何/弧长与弧长参数

我们知道直线段的长度怎么算: 。因此我们可以用直线逼近的方式来定义曲线的弧长。

定义: 曲线 在区间 的弧长为 ,其中的分割。若曲线可微,则我们可以得

若我们试着改变曲线参数,新参数 可微且严格递增,而 ,我们对新的参数算弧长 。由此我们发现,曲线线段的弧长跟所取得曲线参数无关。

由于上述结果,我们可以对任意正则曲线取弧长参数 。若我们将 微分 ,假如 也为弧长参数,则我们发现 ;反过来说若 ,则 是弧长参数,即是说弧长参数与切向量长度等于 1 是充分必要条件。由于此方便的特性,我们往后会常使用弧长参数来探讨曲线性质。