初等數論/其餘不定方程

畢氏定理编辑

若 $a,b$ 為直角三角形的兩邊(股)，而 $c$ 為斜邊，則必存在關係式： $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ，若 $a,b,c$ 皆為正整數，則稱數組 $a,b,c$ 為畢氏三元數，另一方面，若 $a,b,c$ 為正整數，則 $a,b,c$ 可由以下關係式給出(以下 $u,v$ 亦為整數)：

$a=u^{2}-v^{2}$

$b=2uv$

$c=u^{2}+v^{2}$

其中若 $(u,v)=1$ ，則 $(a,b,c)=1$

對於上述畢氏三元數的關係式的證明：

此外，有個由畢氏定理衍生出來的定理：

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ ，對於大於等於 $3$ 的正整數 $n$ ，找不到非零的整數 $a,b,c$ ，使得此關係式成立(意即若 $a,b,c$ 皆為整數，在 $n\geq 3$ 的狀況下，至少有一個為零此關係式才成立)

這個定理叫費馬最後定理

四平方和定理编辑

每個自然數可表示成最多 $4$ 个平方數的和，即對於所有的自然數 $n$ ，必可找到四個自然數(包括 $0$ ) $a,b,c,d$ ，使 $n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 成立，另一方面，若兩個數字可表為四個平方數的和，則他們的乘積亦為四個平方數的和，因此若要證明四平方數定理對每個自然數都成立，那麼只需要證明這個定理對所有質數都成立就可以了。以下為四平方和定理的證明：