在小学和初中的学习中,我们已经接触过一些集合,比如,自然数的集合、有理数的集合、实数的集合、不等式 的解集,等等。
一般地,我们把研究对象统称为元素(element)。
定义1 一些确定并且各不相同的元素的整体就是集合(set)。
例如,以所有的自然数 作为元素,它们构成的整体就是自然数的集合(简称自然数集);以所有实数作为元素,它们构成的整体就是实数的集合(简称实数集)。
从定义还可以看出,能构成集合的元素必须同时满足以下两个条件:
(1)所有元素必须都是确定的。如以很大的自然数为元素,则不能构成集合,因为这些元素不是确定的;如以大于10的自然数为元素,则可以构成集合。
(2)所有元素各不相同。
集合与元素的表示方法:数学中通常用大写字母 表示集合,小写字母 表示元素。
定义2: 如果a是集合A中的元素,则a属于A,记作a∈A;如果b不是集合A中的元素,则b不属于A,记作b∉A。
例如,用 表示自然数集,则有 总之,对于一切整数 ,都有 。另一方面,对于整数 ,都有 。
定义3 如果集合A和集合B中所有的元素都相同,则集合A与集合B相等,记作 。
对于集合的表示方法,除了像“所有自然数构成自然数集”这样的自然语言以外,数学上常用以下两种方法表示集合:
(1)列举法。
将集合中的所有元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法。当元素数量可数并较少时可以采用这个方法。用列举法表示集合,先将元素一一列出,以逗号“,”分隔开,再用花括号“{}”括起来。
例如方程 的实数根组成的集合可以表示为 。用大写字母 表示这个集合,则有 。
(2)描述法。
用集合中的所有元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。当元素数量不可数或较大时采用。用描述法表示集合时,在花括号内先写出表示这个集合的元素的符号以及一般取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这些元素的共同特征。
例如不等式 的在实数范围内的解集为 为实数 ,所有奇数组成的集合为 为整数 为整数 。
以下列举一些数学中常用的集合及其符号:
- 为所有自然数组成的集合, 为整数 ;
- 为所有正整数组成的集合, 为整数 ;
- 为所有整数组成的集合;
- 为所有有理数组成的集合, 都为整数,且 互质 ;
- 为所有实数组成的集合。
有了这些符号,诸如 为整数”、“ 为实数”都可以记作“ ”,“ ”了,例如 为实数 , 为整数 为整数 。
还需要指出,如果从上下文的关系看, 、 是明确的,那么 、 可以省略写为 、 ,例如 , 。
1、以下哪些语句描述的是正确的集合?
(1)接近0的数组成的集合;
(2)大于 的实数组成的集合;
(3) 。
2、以下哪组集合是相等的?
(1) 与 ;
(2) 且 与六月份所有日期对应的号码组成的集合;
(3) 与
3、设集合 表示不等式 在整数范围内的解集
(1)求集合 并说明集合 能否分别用列举法和描述法表示;
(2)写出两个属于集合 的数,再写出两个不属于集合 的数。