量子力学

写在前面——编者的期望编辑

我在重做这本教科书时有过说明,这本教科书的目录是按照朗道的《量子力学》重制的。朗道是一个掌握了物理世界深刻规律的人。他在编写同名教科书时所讲的是目前已发现的物理事实和朗道明确指出的属于物理对当前事实的解释的内容。对于那些试图把物理学“严格化”的做法,朗道有一个有意思的说法,大概是这样的:......的做法试图......严格化,实则充满错误,还有玄虚的玄学讨论。编者,也就是我,是凭记忆引用的,所以既不完整,也不保证正确。不过,我确实想说说这方面的问题。自从中文国家引入量子力学,中文教材大多使用的是所谓公理化方法。确实,它很经典。这套讲述方法大概可以追溯到冯·诺伊曼。有名的《量子力学的数学基础》中第一次这样讲述了量子力学,量子力学理论第一次这样严谨和惨不忍睹。不过,诺伊曼大叔的工作应当还是值得夸赞的。毕竟,他还在讲物理。后世物理学教科书的作者就不同了。他们淡定的一边套用公理化方法,另一边在借着公理化的魔术帽讨论物理的哲学基础,讨论哲学,尽管他们对哲学一无所知。

这套教科书讨论的是量子力学的非相对论部分和量子场论。说量子场论,其实这里暂时还不讨论整个量子场论,而是只讨论量子电动力学,所谓“QED”。QED是一个较成熟的理论。量子场论的其他领域基本上在套用QED的方法——当然不是简单搬运。“场论”,物理好的读者知道它讲的是透过场来实现的相互作用,主体部分是相对论理论。那么量子场论就是量子力学的相对论理论。之所以有这个理论,当然是量子力学要涉足研究相互作用。

就这套书的结构,读者应当看得出来,§153以下讲的是量子场论(目前仅限于QED)

量子力学作为一门艰深的物理理论,涉及了复杂的数学知识,读者应该在正式接触学习之前系统学习高等数学。个人意见是学习В.А.卓里奇的《数学分析》和Б.П.吉米多维奇的《数学分析习题集》。另外还有D.希尔伯特和R.柯朗的《数学物理方法》。等等等等...

只是来科普的读者可能要失望了。

这套教科书尊重哥本哈根诠释,不讨论其他理论,也不讨论哥本哈根诠释。如果想提出自己的研究观点和哲学意见,请猛戳这里

这套教科书篇幅庞大,可能需十数年时间才能完成,你们看到的在这里打字的人更是可能这辈子都不会再碰这本教科书一下了,希望物理好的维基人相互转告,完成这本教科书。

另外我想说的是,套用朗道的目录不代表老土守旧,我会准备众多参考资料的。朗道的特点是结构合理,同一个论点不需要重复两次,就像下面一样......『量子力学的数学结构』是不需要的一章,完全可以归约到『量子力学的基本概念』中去......“现代”讲法的主要缺点是结构踉跄别扭,矫揉造作。特别是把量子力学的全部难点提前到第一章......这无异于空洞的“哲§学”讨论。容易让人产生量子力学学不懂的想法(虽然学不懂是事实)。费曼一语成谶:没有人懂量子力学。数学结构什么的不需要另加讨论,因为在对物理事实的阐述中它已经出现过一次了。当然,如果不同意这里的观点,咱们可以这样......在理论上也不妨碍交流......下面的内容可以保留啊......它毕竟也是个内容,虽然看起来像玄学......

量子力学的数学结构编辑

§1 态的数学结构编辑

量子力学里面的态这一概念,实际上是对系统状态的完全的描述。有一种说法这一描述是过完备的,因为有一个整体的相位信息实际上并不需要。

在一般中国讲授的初等量子力学里面,对于态一般处理仅包含空间信息,不包含任何内部自由度的系统,此时这个态的空间表象可以写成 ,但是请记住这仅仅是一个表象而已,并不是态的本质。物理态的本质是一个向量而已,尽管这个向量所处在的空间可能不是那么易于想象。这个向量所处的空间叫做希尔伯特空间。这个空间的维数可以是有限维,无限维,甚至不可数无限维,其严格的数学定义可能存在一定困难,但是大多数时候只要理解为有限维的自然推广即可。

§2 物理量的数学结构编辑

§3 时间的数学结构编辑

量子力学的基本概念编辑

我将更改架构,重新编写这一部分,因为我打算把数学结构同物理概念紧密地结合起来介绍。而一些同物理概念没有太紧密关系的数学讲解可以甩给数学教科书,或者单独设一部分讨论——但它应当是“高级内容”。

引子:什么是状态编辑

谈状态、尤其是量子力学状态的数学结构之前,首先要了解什么是状态。这本应该是所有物理人都应该知道的,但不知道为什么很多人没有想清楚这个问题、很多老师也没有教过。这里,我引用自己以前撰写过的一篇介绍。

如果你找得到某种可以区分两件事物的手段,那么它们就是不同的,否则它们就是全同的、不可区分的。

在很多具体问题中,我们并不关心两个物体的具体细节是否相同。比如,现在有一节电池,但电器里需要装两节电池从而还需要买一节,那么我们可能只关心新买的电池和现有的电池是不是同一型号的,而基本不关心它们是什么品牌、包装。这种情况下,可以说相同型号电池对于我们的需求而言是等价的,也就是说在“能不能使电器正常工作”的这个问题上是不可区分的。

可区分性和任何科学理论的联系都是相当基本的。在“卡尔萨根的喷火龙”的故事中,某人声称他的车库里有一条喷火龙,但它具有完美的“透明”特性,以至于任何人类能掌握的探测手段都无法探测到它。在对什么是科学和什么是非科学的讨论中,我们会说这条论述不是科学的。其实还有另一种说法:喷火龙的存在与否是(物理上)不可区分的。唯一的可区分的不同就是这个人是宣称喷火龙存在还是否定喷火龙的存在——而物理显然不关心这个问题。 可区分性和我们常说的状态的概念也是密切联系着的。假如现在我们要研究天体系统的运动,而科学仪器允许我们确定天体的所有可区分性质,如形状尺寸、质量分布、电荷量、质心位置与速度、自转角动量等物理量,现在把这一系列数据记作“状态”。但由于决定天体运动的引力相互作用占主导,从而不同的电荷量并不造成可区分的影响;由于天体相距很远,所以形状尺寸和质量分布也并不重要。最终只有总质量、质心位置与速度、自转角动量是需要考虑的,这些可以数据可以叫做“天体的状态”。由于在运动中,总质量和自转角动量不易改变,所以常把它们分离出来称作“天体的性质”,而位置、速度、自转角动量仍称作“天体的运动状态”。这也是为什么以下对“经典决定性原理”的两种陈述是等价的:

  • 物体此刻的位置与速度决定其将来的位置与速度。
  • 物体的力学状态是“因果决定性”的。

第一个陈述里没有提到自转角动量,是因为对一般的物体运动的讨论不能忽略其形状(即内部结构),而自转角动量实际上是物体内部粒子的相对运动状态的一个函数。

在物理学中,我们通过以空间距离、时间间隔及其衍生量为代表的物理量来定义物理状态,上文中的天体运动状态就是一个例子。经典力学中有上文提到了的“决定性原理”,这使得通过位置和速度的测量结果定义的状态概念相当的有用,它解决了所谓的预测问题或者说动力学问题:如何从现在的测量结果推知将来的测量结果。但是下面将要指出:在量子力学中,往往不能通过测量结果推知将来的测量结果!

状态与测量:不确定性原理编辑

讨论测量过程对测量结果造成的影响。

概率的叠加与干涉:态叠加原理编辑

将态叠加原理的两大物理内涵分开解说:态之间的相关性,以及这种相关性与所谓波粒二象性的联系。

物理量的测量结果与概率幅:算符的本征值与本征矢编辑

先从测量结果和概率幅谈起,用测量结果的概率分布定义状态(或者说,构造状态空间)。由于量子力学中我们对期望值有很高程度的重视,通过谱分解的逆过程来构成算符会是一个很自然的需要。

狄拉克记号与量子力学公理编辑

将上述结果公理化,并且用狄拉克记号表示——之后都将采用这一记号。要谈到归一化和射影空间的关系。

讨论:测量和量子力学诠释编辑

能量和动量编辑

§8 哈密顿算符编辑

来自力学的搬运工。

§9 算符对时间的微商编辑

§10 定态编辑

§11 矩阵编辑

§12 矩阵的变换编辑

§13 算符的海森伯绘景编辑

§14 密度矩阵编辑

§15 动量编辑

§16 不确定度关系式编辑

咱们也可以把它叫做测不准原理。。。感谢王正行叫兽。。。

薛定谔方程编辑

§17 薛定谔方程编辑

§18 薛定谔方程的基本性质编辑

§19 流密度编辑

§20 变分原理编辑

§21 一维运动的一般性质编辑

§22 势阱编辑

§23 线性振子编辑

§24 均匀场中的运动编辑

§25 透射系数编辑

角动量编辑

§26 角动量编辑

§27 角动量的本征值编辑

§28 角动量的本征函数编辑

§29 矢量的矩阵元编辑

§30 态的宇称编辑

§31 角动量的相加编辑

有心力场中的运动编辑

§32 有心力场中的运动编辑

§33 球面波编辑

§34 平面波的分解编辑

§35 粒子向力心的“坠落”编辑

§36 库仑场中的运动(球坐标)编辑

§37 库仑场中的运动(抛物坐标)编辑

微扰论编辑

§38 与时间无关的微扰编辑

§39 久期方程编辑

§40 与时间有关的微扰编辑

§41 有限时间间隔微扰作用下的跃迁编辑

§42 周期微扰作用下的跃迁编辑

§43 连续谱中的跃迁编辑

§44 能量的不确定度关系编辑

§45 以势能作微扰编辑

准经典情形编辑

§46 准经典情形下的波函数编辑

§47 准经典情形中的边界条件编辑

§48 玻尔-索末菲量子化规则编辑

§49 有心力场中的准经典运动编辑

§50 势垒的贯穿编辑

§51 准经典矩阵元的计算编辑

§52 准经典情形下的跃迁概率编辑

§53 浸渐微扰作用下的跃迁编辑

自旋编辑

§54 自旋编辑

§55 自旋算符编辑

§56 旋量编辑

§57 具有任意自旋的粒子波函数编辑

§58 有限转动算符编辑

§59 粒子的部分极化编辑

§60 时间反演和克拉默定理编辑

粒子的全同性编辑

§61 同类粒子的不可分辨性原理编辑

§62 交换作用编辑

§63 置换对称性编辑

§64 二次量子化·玻色统计情形编辑

§65 二次量子化·费米统计情形编辑

原子编辑

§66 原子的能级编辑

§67 原子中的电子态编辑

§68 类氢能级编辑

§69 自洽场编辑

§70 托马斯-费米方程编辑

§71 近核处的外电子波函数编辑

§72 原子能级的精细结构编辑

§73 门捷列夫元素周期系编辑

§74 X射线谱项编辑

§75 多极矩编辑

§76 电场中的原子编辑

§77 电场中的氢原子编辑

双原子分子编辑

§78 双原子分子的电子谱项编辑

§79 电子谱项的相交编辑

§80 分子谱项与原子谱项的关系编辑

§81 原子价编辑

§82 双原子分子单重谱项的振动和转动结构编辑

§83 多重谱项·情形a编辑

§84 多重谱项·情形b编辑

§85 多重谱项·情形c和d编辑

§86 分子谱项的对称性编辑

§87 双原子分子的矩阵元编辑

§88 Λ双重分裂编辑

§89 原子间的远距作用编辑

§90 预离解编辑

对称性理论编辑

§91 对称变换编辑

§92 变换群编辑

§93 点群编辑

§94 群的表示编辑

§95 点群的不可约表示编辑

§96 不可约表示和谱项的分类编辑

§97 矩阵元的选择定则编辑

§98 连续群编辑

§99 有限点群的双值表示编辑

多原子分子编辑

§100 分子振动的分类编辑

§101 振动能级编辑

§102 分子对称位形的稳定性编辑

§103 陀螺转动的量子化编辑

§104 分子的振动转动相互作用编辑

§105 分子谱项的分类编辑

角动量的相加编辑

§106 3j符号编辑

§107 张量的矩阵元编辑

§108 6j符号编辑

§109 角动量耦合表象中的矩阵元编辑

§110 轴对称系统的矩阵元编辑

磁场中的运动编辑

§111 磁场中的薛定谔方程编辑

§112 均匀磁场中的运动编辑

§113 磁场中的原子编辑

§114 可变磁场中的自旋编辑

§115 磁场中的流密度编辑

核结构编辑

§116 同位旋不变性编辑

§117 核力编辑

§118 壳层模型编辑

§119 非球形核编辑

§120 同位素移位编辑

§121 原子能级的超精细结构编辑

§122 分子能级的超精细结构编辑

弹性碰撞编辑

§123 散射的一般理论编辑

§124 一般公式的研究编辑

§125 散射的幺正条件编辑

§126 玻恩公式编辑

§127 准经典情形编辑

§128 散射振幅的解析性质编辑

§129 色散关系编辑

§130 动量表象中的散射振幅编辑

§131 高能散射编辑

§132 慢粒子散射编辑

§133 低能共振散射编辑

§134 准离散能级处的共振编辑

§135 卢瑟福公式编辑

§136 连续谱的波函数组编辑

§137 全同粒子的碰撞编辑

§138 带电粒子的共振散射编辑

§139 快电子和原子的弹性碰撞编辑

§140 具有自旋轨道作用的散射编辑

§141 雷杰极点编辑

非弹性碰撞编辑

§142 存在非弹性过程时的弹性散射编辑

§143 慢粒子的非弹性散射编辑

§144 存在反应时的散射矩阵编辑

§145 布赖特和维格纳公式编辑

§146 反应中的末态相互作用编辑

§147 反应阈附近的截面行为编辑

§148 快电子和原子的非弹性碰撞编辑

§149 有效滞阻编辑

§150 重粒子和原子的非弹性碰撞编辑

§151 中子散射编辑

§152 高能非弹性散射编辑

相对论下的修正编辑

§153 相对论范围的不确定度关系式编辑

光子编辑

§154 自由电磁场的量子化编辑

§155 光子编辑

§156 规范不变性编辑

§157 量子理论中的电磁场编辑

§158 光子的角动量和宇称编辑

§159 光子的球面波编辑

§160 光子的极化编辑

§161 双光子系统编辑

玻色子编辑

§162 零自旋粒子的波动方程编辑

§163 粒子和反粒子编辑

§164 真中性粒子编辑

§165 C,P,T变换编辑

§166 自旋为1的粒子的波动方程编辑

§167 具有最高整数自旋的粒子的波动方程编辑

§168 粒子的螺旋性状态编辑

费米子编辑

§169 四维旋量编辑

§170 旋量与四维矢量的联系编辑

§171 旋量的反演编辑

§172 旋量表示的狄拉克方程编辑

§173 狄拉克方程的对称形式编辑

§174 狄拉克矩阵代数编辑

§175 平面波编辑

§176 球面波编辑

§177 自旋和统计的联系编辑

§178 电荷共轭和旋量的时间反演编辑

§179 粒子和反粒子的内禀对称性编辑

§180 双线性式编辑

§181 极化密度矩阵编辑

§182 二分量费米子编辑

§183 自旋为3/2的粒子的波动方程编辑

外场中的粒子编辑

§184 外场中电子的狄拉克方程编辑

§185 按1/c的幂展开编辑

§186 氢原子能级的精细结构编辑

§187 在有心对称场中的运动编辑

§188 在库仑场中的运动编辑

§189 在有心对称场中的散射编辑

§190 极端相对论情形中的散射编辑

§191 库仑场中散射的连续谱波函数编辑

§192 平面电磁波场中的电子编辑

§193 自旋在外场中的运动编辑

§194 中子在电场中的散射编辑

辐射编辑

§195 电磁相互作用算符编辑

§196 发射和吸收编辑

§197 偶极辐射编辑

§198 电多极辐射编辑

§199 磁多极辐射编辑

§200 角分布和辐射的极化编辑

§201 原子辐射:电型编辑

§202 原子辐射:磁型编辑

§203 原子辐射:塞曼效应和斯塔克效应编辑

§204 原子辐射:氢原子编辑

§205 双原子分子的辐射:电子光谱编辑

§206 双原子分子的辐射:振动光谱和转动光谱编辑

§207 核辐射编辑

§208 光电效应:非相对论情形编辑

§209 光电效应:相对论情形编辑

§210 氘核的光致蜕变编辑

光的散射编辑

§211 散射张量编辑

§212 自由取向系统的散射编辑

§213 分子散射编辑

§214 谱线的自然宽度编辑

§215 共振荧光编辑

散射矩阵编辑

§216 散射振幅编辑

§217 极化粒子的反应编辑

§218 运动学不变量编辑

§219 物理区域编辑

§220 按分波振幅展开编辑

§221 螺旋性散射振幅的对称性编辑

§222 不变振幅编辑

§223 幺正性条件编辑

协变微扰论编辑

§224 编时乘积编辑

§225 电子散射的费曼图编辑

§226 光子散射的费曼图编辑

§227 电子的传播子编辑

§228 光子的传播子编辑

§229 图技术的一般规则编辑

§230 交叉对称性编辑

§231 虚粒子编辑

电子的相互作用编辑

§232 电子在外场中的散射编辑

§233 电子和正电子被电子的散射编辑

§234 快速粒子的电离损失编辑

§235 布雷特方程编辑

§236 电子偶素编辑

§237 原子在大距离下的相互作用编辑

电子与光子的相互作用编辑

§238 光子被电子散射编辑

§239 光子被电子散射极化效应编辑

§240 电子对的双光子湮没编辑

§241 电子偶素的湮没编辑

§242 同步辐射编辑

§243 在磁场中由光子产生电子对编辑

§244 电子一原子核轫致辐射非相对论情形编辑

§245 电子一原子核轫致辐射相对论情形编辑

§246 在原子核场中由光子产生电子对编辑

§247 极端相对论情形电子对产生的精确理论编辑

§248 极端相对论情形轫致辐射的精确理论编辑

§249 极端相对论情形的电子一电子轫致辐射编辑

§250 碰撞中软光子的发射编辑

§251 等效光子方法编辑

§252 在粒子间碰撞中产生电子对编辑

§253 电子在强电磁波的场中发射光子编辑

精确传播子和顶点部分编辑

§254 海森伯表象中的场算符编辑

§255 精确的光子传播子编辑

§256 光子的自能函数编辑

§257 精确的电子传播子编辑

§258 顶角部分编辑

§259 戴森方程编辑

§260 沃德恒等式编辑

§261 外场中的电子传播子编辑

§262 重正化的物理条件编辑

§263 光子传播子的解析性质编辑

§264 费曼积分的正规化编辑

辐射修正编辑

§265 极化算符的计算编辑

§266 库仑定律的辐射修正编辑

§267 由费曼积分计算极化算符的虚部编辑

§268 电子的电磁形状因子编辑

§269 电子形状因子的计算编辑

§270 电子的反常磁矩编辑

§271 质量算符的计算编辑

§272 非零质量软光子的发射编辑

§273 电子在外场中的散射的二级玻恩近似编辑

§274 电子在外场中的散射的辐射修正编辑

§275 原子能级的辐射移位编辑

§276 介原子能级的辐射移位编辑

§277 束缚态的相对论方程编辑

§278 双色散关系编辑

§279 光子一光子散射编辑

§280 光子在原子核场中的相干散射编辑

§281 电磁场方程的辐射修正编辑

§282 磁场中的光子分裂编辑

§283 对四维区域积分的计算编辑

量子电动力学的渐近公式编辑

§284 光子传播子在大动量时的渐近形式编辑

§285 未重正化电荷和实际电荷之间的联系编辑

§286 散射振幅在高能下的渐近形式编辑

§287 顶角算符双重对数项的分离编辑

§288 顶角算符的双重对数渐近形式编辑

§289 电子一μ子散射振幅的双重对数渐近形式编辑

强子的量子电动力学编辑

§290 强子的电磁形状因子编辑

§291 电子一强子散射编辑

§292 轫致辐射的低能定理编辑

§293 光子一强子散射的低能定理编辑

§294 强子的多极矩编辑

§295 电子一强子的非弹性散射编辑

§296 由电子一正电子对生成强子编辑