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首页 > 維基書架 > 数学书架 > 逻辑学 > 形式与符号

形式

从众多具体现象中抽象出的具有某种同样性质的模式,称为形式。比如老鼠会打洞可以模板化为老鼠 会 打洞,同时将具体对象和谓词抽象化,形式化为  是一个动物, 为一个动作, 为一个谓词。当然也可以进一步形式化为  是不同的名词, 是一个动词 )乃至进一步为  各为一个不同的词)。

老鼠会打洞(实例)→老鼠 会 打洞(模板)→动物名词 谓词 行为名字(形式)→名词 谓词 名词(形式)→词 词 词(形式)

从左往右,距离实例越来越远。直观的来看,越右的形式能创建的实例越多。

从形式反过来到实例的过程则称为实例化,显然,“动物名词 谓词 行为名字”形式除了可实例化老鼠会打洞。也可实例化为猫会吃老鼠或老鼠会吃猫。这是形式化的一个主要用处,假如一个形式可以反映一个对象的某些特性,则只要定义或推演这个形式的特性或属性,就等同于定义或推演了这个形式下所有可能实例的属性。这样,我们可以定义一套形式化程度恰到好处的公理或规则,然后将现实世界的某些事物或现象“挂靠”或称形式化到形式上,这样就获得形式的正确性。

过程:

提前定义形式1→形式1具有性质1→发现实例1→发现实例1可以形式化为形式1→实例1具有性质1

变量

一个对象是。。。随便什么东西,只要是思想可以生成的,比如“可恶的老鼠”或“爬过一条下水道”。对象一般受到一组定义的规则限制,从而缩减了其范围。比如规则“禁止前两个字是“可恶的””就使这个对象排除了“可恶的老鼠”这一可能的选择。

一个变量包含一个对象和对这个对象的限制规则,一般用英文小写字母表示。形如:  是一个自然数).显然,这个变量可以包含1,2,3,4,5….以内所有的数字。将一个变量实例化的过程称为赋值。如 .代表之后 表示数字1。而一个 的赋值将导致逻辑错误。因为规则是先于赋值定义的。

命题变量是一个变量与并且这个变量只能是命题(规则)。

命题变量里的命题限制是比较松散的,可以允许  一类的形式。其中  都是可以增加任意多形容词(乃至定语从句,只要是形容词性的部分)的名词。如小灰狗 是 小的灰色的长有牙齿的犬科动物,这种动物是人类的朋友。又比如,自然数的基数小于实数。

命题变量有一个真值,换句话说,命题变量有一个属性,那个属性可以是“真”或“假”,也可以是“未定义”。这个属性是命题逻辑赋予变量的(即变量本身没有这个性质,只是在命题逻辑系统中被附加了这个性质),这类变量在更高级的一阶逻辑有类似但不相同的使用方式。

有时我们需要表示两个命题实际上是一个命题,或两个变量应是一个变量。这可以有很多表示方法,比如a,b (a=b)或像命题逻辑做得那样。应是同一个变量的位置使用同一个字母表示,相应的,不同变量之间严禁使用同样的字母表示。

虽然并不明显,但我们自然语言中的大多数部分都可以用  句型表示,也就是说,大多数自然语言中出现的命题都可以以命题逻辑方式形式化。比如扶老太太过马路是好的可形式化为a,金胖子是会被撑死的人形式化为a,飞机是飞机形式化为 。当然,它们只能在不同的论证中被形式化为同一个符号。但在特别指定一个实例前, 可以实例化为其中任意一个命题。

这看起来很无聊,因为符号 并没有任何性质,可以让我们将实例“挂靠”到(形式化为) 上后推出任何关于 的“新”信息(严格的说,演绎推理不会产生任何新信息,因为信息在指定公理和实例后就应该“自动得到”了。但这一点并不明显,比如你并不能总那么容易的做出几何证明题,虽然那些题在无限穷举下总是可以被做出的)。

推理

现在我们来考虑命题之间的交互。假设有这么一个问题“我是男人或是女人 我不是女人 是否可以推出我是男人”?

答案是“可以推出”,这样一类陈述称为复合命题。至于它怎么形式化来获得对“可以推出”这一答案的正确性的证明,马上就可以见到。现在先以一般的方式推理这个问题,假如你觉得这个问题太简单,明显了。那么令人高兴的,命题逻辑就是建立在这些显而易见正确的思维之上,在此之外,命题逻辑排除了一些人类思维中含糊的地方,并使大规模的推理(以以上语句组成,但长度翻一百倍的陈述。人类通常能直达问题命门的感觉性的思维毫无用途,只能依赖命题逻辑的一种机械计算。)

根据自然语言的定义,“我是男人或是女人”可以转化为“我是男人或我是女人”,“我不是女人”可以转化为“我是女人,这一命题为假”。现在开始形式化,显然以上语句都可以形式化为  形式,令 为命题“我是男人”,令d为命题“我是女人”。

现在有两个命题  分别代表不同的意思。我们得有一种方式表示“我是男人或我是女人”,我们使用符号 ,转为“ ”。 “ ”也可表示为另一个命题 ,对于这一点,只需构建“变量命题 是“我是男人或是女人”这一命题(定语从句)”即可。不过直观的来看,这么做除了减少了信息毫无意义,不过注意到这一点有助于加深对复合命题的理解,这种方法在推理算法中也有应用。由于可以表示为另一个命题,所以“ ”也有一个真值(这一过程可以复习形式化的用途,我们将“ ”形式化为命题,然后根据命题逻辑对命题的定义,“ ”这一命题的实例有一个真值。)。更一般化的,所有经“ ”之类的符号计算的复合命题都可以视为另一命题并拥有真值。而“ ”之类的符号就是将参数(如符号左右两边的命题)的真值经过计算后得到一个新命题的新真值,并通过一系列这样的复合表示一整个陈述。

对于任何类似“我是男人或女人”,“我是女人,这一命题为假”的语言,我们称为为条件,所有条件都是真的。这就是说“ ”的真值为真。可像“我是女人,这一命题为假”这种语句中就表示这一命题为假的语句应该怎么表示呢?只要令“命题为假”这一断言为真即可。换句话说,假设a表示命题“我是人”,而且这是一个条件。则 的真值为真。而“我不是人”=“我是人,这一命题为假”这一命题可以先用某种符号将其表示为“ 命题为假”,那自然“ 命题为假”为真就代表 命题本身为假了。使命题从直接的含义转为对直接的含义的否定的符号是 ,如 表示“我是人”,则 表示“我是人,这一命题为假”即“我不是人”。注意“这一命题为假”这种用法并不一定必然可以转化为“我不是人”这种“自然的”表述。可以是““我不是人,这一命题为假”这一命题为假”之类的句子。其中根据日常语法的定义,这种双重否定句将导致肯定,逻辑中有一条类似的规则 ,这里暂不详述。

现在,我们有两个断言,  。我们想知道它是不是能推出命题 (这种符号单独出现时代表这一命题为真,在这里代表“我是男人”或称“我是男人,这一命题为真”)。为此,我们形式化的定义  的意思,以符合我们推理的直觉。前面已经提到过, 是让一个命题附加一个“该命题为假”陈述的方式。更一般化的, 也可使一个为假的命题变为真,用之前提到过的双重否定规则。所以可以这么说, 符号使一个真命题变为假命题,使一个假命题(根据定义,符号单独出现时不可能,但当做复合命题时可能)变为真命题。我们使用所谓的真值表表示:

真值表是复合命题的新命题的新真值的一种表现方式,它遍历所有可能的参数赋值并标出对应情况的新命题的新真值。 表示true,即 当时的真值为true时, 表示false,即 当时的真值为假。易见这确实覆盖了所有的情况。

 
   
   

     
     
     
F    
     

逻辑方程

为了加深理解,我们可以将“ ”,“  ”之类的符号称为逻辑运算符,他们本身可以视为一个函数。如  。事实上在一些编程语言里就是这样做的, 原形 只是一种“语法便利”,是等价的。之后我们会更有意义的使用运算符是一种函数的这种概念。

现在我们提前涉及一下“逻辑方程”这种概念,正式定义中并不存在这个概念,不过我觉得这使逻辑推理的某些部分变得容易理解。然而比较糟的是,“方程”自己的含义却有些含糊,我们可以把它当做日常的方程来考虑。即给出几个条件去限制另一个条件,会产生一个或几个令“等式”成立的“解”。这里我们看看 是否是原陈述的一个解。

在此之前,再加入一个运算符 符号表示and,并,而且之类的意思。真值表为

     
     
     
F    
     

可以自己测试一下,会发现正像自然语言的里的意思。

列出形式:  

查询真值表,发现 仅当  都为真时才会出现。所以这里 都为真,这就反映了条件的性质(都为真)。

然后,由 为真得到 为假,然后将这个 的真值代入到  中,又由 真值表中当其为真且其中一项为假,则另一项为真的“性质”(可以看得出来的)。得到  ,从而,我们证明了