訊號與系統/訊號頻譜

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原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

訊號頻譜(spectrum)

頻譜:

訊號在頻域的表示稱為頻譜。分為振幅頻譜(amplitude spectrum) $A(f)$ 與相位頻譜(phase spectrum) $Ph(f)$ 兩部份。

$x(t)=3cos[2\pi (10)t-{\frac {\pi }{3}}]$

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

線頻譜(line spectra) ：

當 $A(f)$ 與 $Ph(f)$ 為離散頻率(discrete-frequency)函數時，此類頻譜稱為線頻譜。(如上頁圖例) 。

單邊頻譜(single-sided spectra) ：

當 $A(f)$ 與 $Ph(f)$ 兩頻譜只存在 $f>0$ 的部份。稱為單邊頻譜。(如上頁圖例)。

範例4.2

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。請繪出弦波訊號 $x(t)=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$ 的單邊頻譜。

【解】此訊號之振幅大小為3、頻率為1000Hz相位為 ${\frac {\pi }{6}}$ 。

弦波訊號的單邊頻譜

範例4.3

請繪出弦波訊號 $x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$ 的單邊頻譜。

【解】 (1)訊號的振幅大小要為正值，因此將訊號表示式改寫成：

$x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$

$=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}}+\pi )$

$=3cos(2000\pi +{\frac {7\pi }{6}})$

或

$x(t)=-3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}})$

$=3cos(2000\pi +{\frac {\pi }{6}}-\pi )$

$=3cos(2000\pi -{\frac {5\pi }{6}})$

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(2)訊號x(t)之振幅大小為3，頻率為1000Hz以及相位為 ${\frac {7\pi }{6}}$ 或 ${\frac {-5\pi }{6}}$ ，下圖顯示這兩種頻譜。

弦波訊號的單邊頻譜注意：此兩種表示其數學上完全相等

範例4.4

請繪出下列訊號的單邊頻譜。

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

【解】

改寫訊號表示式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$ = $3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-{\frac {\pi }{2}})+4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

訊號由三個餘弦訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、 $-{\frac {\pi }{2}}$ 與 ${\frac {\pi }{4}}$ 。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

範例4.5

請繪出訊號 $x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$ 單邊頻譜。

【解】訊號可改寫成 $x(t)=3cos(2000\pi t)+4cos(2000\pi t-{\frac {\pi }{2}})$ ，表示成由二個餘弦訊號組合而成，但其頻率皆為1000 Hz，因此必須合併。注意到cos(.)為非線性函數，二個餘弦的振幅大小與相位無法直接相加，因此將訊號表示式改寫成：

$x(t)=3cos(2000\pi t)+4sin(2000\pi t)$

$={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}[cos(2000\pi t){\frac {3}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}+sin(2000\pi t){\frac {4}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}]$

$=5[cos(2000\pi t)cos\phi +sin(2000\pi t)sin\phi ]$

$=5cos(2000\pi t-\phi )$ ， $\phi =tan^{-1}{\frac {4}{3}}$

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

範例4.6

請繪出以下訊號的單邊頻譜 x(t)= $3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

【解】 (1)可將訊號表示式改寫成

x(t)= $3cos(1000\pi t)-2sin(3000\pi t)-4cos(4000\pi t+{\frac {\pi }{4}})+cos(6000\pi t)-sin(6000\pi t)$ $=3cos(1000\pi t)+2cos(3000\pi t+{\frac {\pi }{2}})+4cos(4000\pi t+{\frac {5\pi }{4}})+{\sqrt {2}}cos(6000\pi t+{\frac {\pi }{4}})$

(2)由改寫後的訊號表示式可知是由4個餘弦訊號組合而成，其振幅大小分別為3、2、4與 ${\sqrt {2}}$ ；而其頻率分別為500、1500、2000 Hz與3000 Hz；以及其相位分別為0、 ${\frac {\pi }{2}}$ 、 ${\frac {5\pi }{4}}$ 與 ${\frac {\pi }{4}}$ 。

圖出處©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

雙邊頻譜

有別於用餘弦(cosine)訊號所形成的單邊頻譜；根據尤拉公式(Euler equation) ，可將餘弦訊號寫成兩個相同大小(magnitude) 但反方向等速旋轉的相量(phasor)的和。即

$x(t)=A_{x}cos(2\pi f_{x}t+\theta _{x})$ $={\frac {A_{x}}{2}}e^{j\theta _{x}}e^{j2\pi f_{x}t}+{\frac {A_{x}}{2}}e^{j-\theta _{x}}e^{-j2\pi f_{x}t}$ $=[{\frac {A_{x}}{2}}e^{j\theta _{x}}]e^{j2\pi f_{x}t}+[{\frac {A_{x}}{2}}e^{-j\theta _{x}}]e^{-j2\pi f_{x}t}$

由上式可知，一餘弦訊號 $x(t)$ 可表示成兩個反向旋轉的相量的和。第一個旋轉相量每秒 $f_{x}$ 圈；第二個旋轉相量每秒轉 $(-f_{x})$ ，其負號是表示相反方向。

$x(t)$ 的頻域表示有兩種方式：

(1)採用餘弦訊號:

$A(f)={\begin{cases}A_{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

$Ph(f)={\begin{cases}\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

(2)採用旋轉相量和：

$A(f)={\begin{cases}{\frac {A_{x}}{2}},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx or f=-fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

$Ph(f)={\begin{cases}\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=fx}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\\-\theta _{x},&{\mbox{ }}{\mbox{f=-fx}}\end{cases}}$

注意:

方式

(1)僅含 $f\geq 0$ 之頻域範圍，故稱為單邊頻譜方式。

(2)頻域 $f$ 包含正頻率及負頻率，故稱為雙邊頻譜。

範例4.7

試繪出 $x(t)=3cos[2\pi (10)t-(\pi /3)]=(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (10)t}+(1.5e^{-j\pi /3})e^{j2\pi (-10)t}$ 之單邊及雙邊頻譜。

【解】

(1)單邊頻譜：

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

(2)雙邊頻譜:

圖出處©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

注意：

(1)振幅的雙邊頻譜為一偶函數，其大小為單邊振幅頻譜的一半。

(2)相位的雙邊頻譜為一奇函數，其正頻率範圍之大小與單邊相位頻譜相等。

範例4.8

請繪出以下訊號的雙邊頻譜。 $x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

【解】

方式1：用尤拉公式改寫訊號成複指數型式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

$={\frac {3}{2}}(e^{j2000\pi t}+e^{-j2000\pi t})+{\frac {1}{j}}(e^{j3000\pi t}+e^{-j3000\pi t})$

+ $2(e^{j(4000\pi t)+\pi /4}+e^{j(4000\pi +\pi /4)})$

= ${\frac {3}{2}}e^{j2000\pi t}+{\frac {3}{2}}e^{-2000\pi t}+e^{-j\pi /2}e^{j3000\pi t}+e^{j\pi /2}e^{-j3000\pi t}$

+ $2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e{-j(4000\pi t+\pi /4)}$

= ${\frac {3}{2}}e^{-j2000\pi t}+{\frac {3}{2}}e{-j2000\pi t}+e{j(3000\pi t-\pi /2)}+e^{-j(3000\pi t-\pi /2)}$

+ $2e^{j(4000\pi t+\pi /4)}+2e^{-j(4000\pi t+\pi /4)}$

方式2：改寫訊號成餘弦標準式

$x(t)=3cos(2000\pi t)+2sin(3000\pi t)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$ = $3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(4000\pi t+\pi /4)$

由三個餘弦(cos)訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、 $-\pi /2$ 與 $\pi /4$ ，再繪出對應的雙邊頻譜。

範例4.9

$x(t)=(3{\sqrt {2}})cos[2\pi (10)t+(\pi /4)]+(3/{\sqrt {2}})cos[2\pi (10)t-(\pi /4)]$ + $(1/{\sqrt {2}})cos[2\pi (15)t]+(1/{\sqrt {2}})sin[2\pi (15)t]$ - $2sin[2\pi (20)t-(\pi /6)]$