訊號與系統/濾波器

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原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
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原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
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原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

濾波器

訊號濾波(filtering)是將輸入訊號之不同頻率成份的增益做選擇性改變，甚且將某些頻率成份壓抑掉。

處理訊號濾波的系統稱為濾波器(filter) 。其實濾波器可看成一種頻率選擇器，即讓設定頻率範圍內之訊號通過(或濾除) 。

理想濾波器分析

一個理想濾波器可讓某一頻帶的信號完全通過，並將其餘頻率範圍之訊號完全濾除(阻隔)，其中訊號完全通過的頻率範圍稱為通帶(passband)，而訊號完全濾除的頻率範圍稱為阻帶(stopband)。

所謂理想濾波器是理論上用來分析說明訊號濾波的效果，實際上並無法實現此濾波器。

濾波器依功能一般區分為

  低通濾波器(low-pass filter, LPF)
  高通濾波器(high-pass filter, HPF)
  帶通濾波器(band-pass filter, BPF)
  帶止濾波器(band-stop filter, BSF)

理想低通濾波器

理想低通濾波器的強度響應定義為

      $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}1,&\mid f\mid <f_{cut}\\0,&\mid f\mid >f_{cut}\end{cases}}$

其中 $f_{cut}$ 是截止頻率。

強度頻譜 $\mid H(f)\mid$ 如下圖所示。 ...........................圖..........................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

理想高通濾波器

理想高通濾波器的強度響應定義為

      $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}0,&\mid f\mid <f_{cut}\\1,&\mid f\mid >f_{cut}\end{cases}}$

強度頻譜 $\mid H(f)\mid$ 如下。 .......................圖....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

理想帶通濾波器

理想帶通濾波器的強度響應定義為

     $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}1,&f_{1}<\mid f\mid <f_{2}\\0,&otherwise\end{cases}}$

強度頻譜 $\mid H(f)\mid$ 如下圖所示。 ......................圖....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

理想帶止濾波器

理想帶止濾波器的強度響應定義為

     $\mid H(f)\mid ={\begin{cases}0,&f_{1}<\mid f\mid <f_{2}\\1,&otherwise\end{cases}}$

強度頻譜 $\mid H(f)\mid$ 如下圖所示。 .....................圖...................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

範例6.5

給定濾波器的輸入訊號的振幅頻譜如下圖所示，請以此訊號分別輸入理想低通、高通、帶通和帶止濾波器，分別分析濾波器輸出訊號的振幅頻譜。

假設濾波器的相位響應 $\angle H(f)$ 為零。

.............................圖.....................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

【解】濾波器的輸出訊號振幅頻譜 $\mid Y(f)\mid =\mid X(f)\mid \mid H(f)\mid$

(a)理想低通濾波器：輸入訊號高於截止頻率3000 Hz的成份被濾除，只有頻率低於3000 Hz的成份通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(b)理想高通濾波器：輸入訊號低於頻率3000 Hz的成份被濾除，只有頻率高於3000 Hz的成份通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(c)理想帶通濾波器：輸入訊號位於2000 Hz到4000 Hz之頻帶範圍的成份通過，其餘部份被濾除。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

(d)理想帶止濾波器：輸入訊號位於3000Hz到4000Hz之頻帶範圍的成分阻止無法通過，其餘部分可通過。

..............................圖.......................................©余兆棠、李志鵬，信號與系統，滄海書局，2007。

範例6.6

同範例6.5之濾波器，給定濾波器的輸入訊號為

      ${\boldsymbol {x}}(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)$

請分別分析濾波器輸出訊號。

【解】利用理想濾波器的物理意義，直接考量原輸入訊號的哪些頻率成份可通過或濾除，便可直接地寫出輸出訊號。 (a)理想低通濾波器：

      ${\boldsymbol {y}}(t)=3cos(2000\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)$

(b)理想高通濾波器：

      ${\boldsymbol {y}}(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)$

(c)理想帶通濾波器：

     ${\boldsymbol {y}}(t)=4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)$

(d)理想帶止濾波器：

      ${\boldsymbol {x}}(t)=3cos(200\pi t)+2cos(3000\pi t-\pi /2)+4cos(5000\pi t+\pi /4)+cos(7000\pi t+\pi /4)+cos(9000\pi t)$

非理想濾波器分析

一個簡單的RC電路可實現低通濾波器。試說明理想濾波器與非理想濾波器之差異。此RC電路系統之微分方程表示式為

      $RC{dy(t) \over dt}+y(t)=x(t)$

等號兩邊做傅立葉轉換，可得

      $j2\pi fRCY(f)+Y(f)=X(f)$

RC電路之系統的頻率響應為

      $H(f)={Y(f) \over X(f)}={1 \over 1+j2\pi fRC}={1 \over 1+jf/f_{o}}$               $f_{0}={1 \over 2\pi RC}$

RC電路之強度響應與相位響應可表示成

      $\mid H(f)\mid =\left[{\frac {1}{1+(f/f_{0})^{2}}}\right]^{1 \over 2}$ 
     $\angle H(f)=-tan^{-1}{f \over f_{0}}$

RC電路所實現之低通濾波器的頻率響應

理想與非理想濾波器之差異

增益：

(1)理想濾波器在通帶的增益固定為1，表示讓通帶的輸入訊號「完全」通過，而阻帶的增益固定為0，表示將阻帶的輸入訊號「完全」濾除。

(2)非理想濾波器的增益是頻率的函數而不固定。

截止頻率：

(1)理想濾波器通帶與阻帶之間可以瞬間切換。

(2)非理想濾波器在通帶與阻帶之間無法瞬間切換，其衰減程度(增益)隨頻率連續變化，因此有過渡帶(transition band)的存在，而且阻帶的增益也無法達到0。

線性相位：理想濾波器的相位響應是頻率的線性函數，一般濾波器設計時若其輸出訊號不要有相位失真，則此濾波器須有線性的相位響應。