訊號與系統/傅立葉轉換的定理

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TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 当前語言下顯示→时分复用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 当前語言下顯示→频分复用
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 当前語言下顯示→空分复用
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 当前語言下顯示→波分复用
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GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 当前語言下顯示→通用分组无线服务
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 当前語言下顯示→扩频
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Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 当前語言下顯示→分组
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Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 当前語言下顯示→信息论
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Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 当前語言下顯示→模拟广播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 当前語言下顯示→模拟电视
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原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

傅立葉轉換定理(1) —線性(linearity)

也稱作重疊定理(superposition) 已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$ $y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega ))$

則對於任意實數或複數常數a，b

$a\chi (t)+by(t)\leftrightarrow a\mathrm {X} (f)+b\mathrm {X} (f)(a\mathrm {X} _{\omega }(\omega )+bY_{\omega }(\omega ))$

證明 $\Im a\chi (t)+by(t)=\int _{-\infty }^{\infty }[a\chi (t)+by(t)]e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $a\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt+b\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $a\mathrm {X} (f)+bY(f)$ ＃

範例5.11

試求 $\chi (t)=B\cos 2\pi f_{0}t$ 的傅立葉轉換。解 $\chi (t)=B\cos 2\pi f_{0}t={\frac {B}{2}}e^{j2\pi f_{0}t}+{\frac {B}{2}}e^{-j2\pi f_{0}t}$ (尤拉公式)

依傅立葉轉換的線性定理知

                                      ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

$\Im \chi (t)=\Im {\frac {B}{2}}e^{j2\pi f_{0}t}+{\frac {B}{2}}e^{-j2\pi f_{0}t}$

= ${\frac {B}{2}}\Im e^{j2\pi f_{0}t}+{\frac {B}{2}}\Im e^{-j2\pi f_{0}t}$

= ${\frac {B}{2}}({\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})})$

= ${\frac {B}{2}}({\delta ({\frac {\omega -\omega _{0}}{2\pi }})+\delta ({\frac {\omega +\omega _{0}}{2\pi }})})$

                                 由前面範例知
                                      $\Im {e^{j2\pi f_{0}t}}$ 
                                       = $\delta (f-f_{0})$ 
                                        $\omega =2\pi f$ 
                                        $\omega _{0}=2\pi f_{0}$

$\pi B{\delta (\omega -\omega _{0})+(\omega +\omega _{0})}$

範例5.12

試求單位步階函數u(t)的傅立葉轉換。【解】

                                 © Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

          (1)由上圖知： $u(t)={\frac {1}{2}}[1+\operatorname {sgn}(t)]$ 
            (2)已知 $\operatorname {sgn}(t)\leftrightarrow {\frac {1}{j\pi f}}(={\frac {2}{j\omega }})$

(3)故 $\Im {u(t)}={\frac {1}{2}}[\Im {1}+\Im {\operatorname {sgn}(t)}]$ 
         $={\frac {1}{2}}[\delta (f)+{\frac {1}{j\pi f}}]$ 
       ${\frac {1}{j2\pi f}}+{\frac {1}{2}}\delta (f)(={\frac {1}{j\omega }}+\pi \delta (\omega ))$

                                   © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$ 則： $\chi (at)\leftrightarrow {\frac {1}{\mid a\mid }}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})({\frac {1}{\mid a\mid }}\mathrm {X} _{\omega }({\frac {\omega }{a}}))$ 信號在時域的時間參數t做等比例放大或縮小a倍，此程序在頻域的頻率參數f 縮小或放大 ${\frac {1}{a}}$ 倍，同時振幅大小也縮小或放大\frac{1}{\mid1\mid}倍。訊號在時間軸壓縮 $(a>1)$ 則其頻譜會擴張；反之，信號在時間擴張 $(a<1)$ 則其頻譜會壓縮。

傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

【證明】(1) a>0 $\Im \chi (at)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (at)e^{-j2\pi ft},dt$

                                                                令 $at=\tau$

$={\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\chi (\tau )e^{-j2\pi {\frac {f}{a}}\tau },d\tau$ $={\frac {1}{a}}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})$

(2) a<0 $\Im \chi (at)=-{\frac {1}{a}}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})$ $\Im \chi (at)={\frac {1}{\mid a\mid }}\mathrm {X} ({\frac {f}{a}})$ #

範例5.13

試繪出 $\chi (t)=rect({\frac {t}{a}})$ 與 $y(t)=\chi ({\frac {t}{2}})=rect({\frac {t}{4}})$ 之頻譜。

【解】 $\chi (t)=rect({\frac {t}{a}})\leftrightarrow \mathrm {X} (f)=2sinc(2f)$ $y(t)=\chi ({\frac {t}{2}})\leftrightarrow Y(f)=2\mathrm {X} (2f)=4sinc(4f)$

                              © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

傅立葉轉換原理(3.)—時間反轉(time reversal)

已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)<\mathrm {X} _{\omega }(\omega )$

則 $\chi (-t)\leftrightarrow \mathrm {X} (-f)<\mathrm {X} _{\omega }(-\omega )$ 明顯的，此定理為時間比例調整定理的特例。

訊號在時域的時間參數 t 反轉造成在頻域的頻率參數 f 也反轉。

若 $\chi (t)$ 為實數，則 $\Im \chi (-t)=\mathrm {X} (-f)=\mathrm {X} ^{*}(f)$

範例5.14

試求 $\chi (t)=e^{-a\mid t\mid },a>0$ 之傅立葉轉換。【解】(1) $\chi (t)=e^{-a\mid t\mid }=e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)$ = $\chi _{1}(t)+\chi _{2}(t)$

其中 $\chi _{1}(t)=e^{at}u(-t)$ $\chi _{2}(t)=e^{-at}u(t)$

明顯的， $\chi _{2}(-t)=e^{-a(-t)}u(-t)$ $=e^{at}u(-t)=\chi _{1}(t)$

故 $\Im \chi _{1}(t)=\chi _{2}(-t)$ $=\mathrm {X} _{2}(-f)$

(2)由前面範例可知： $\mathrm {X} _{2}(f)=\Im \mathrm {X} _{2}(t)=\Im e^{-at}u(t)={\frac {1}{a+j2\pi f}}$ (3) $\mathrm {X} (f)=\Im \mathrm {X} (t)=\Im \mathrm {X} _{1}(t)+\mathrm {X} _{2}(t)$

                                           線性定理

 = $\Im \mathrm {X} _{1}(t)+\mathrm {X} _{2}(t)$ 
 = $\mathrm {X} _{2}(-f)+\mathrm {X} _{2}(f)$

 = ${\frac {1}{a-j2\pi f}}+{\frac {1}{a+j2\pi f}}$ 
 = ${\frac {2a}{a^{2}+(2\pi f)^{2}}}={\frac {2a}{a^{2}+(\omega )^{2}}}$

                                  © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

傅立葉轉換定理(4) —乘上 $t^{n}$

已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$

則 $t^{n}\chi (t)\leftrightarrow ({\frac {1}{-j2\pi }})^{n}{\frac {d^{n}\mathrm {X} (f)}{df^{n}}}(j^{n}{\frac {d\mathrm {X} _{\omega }^{n}(\omega )}{d\omega ^{n}}})$ 【證明】證明n=1的情形：

                (1)依傅立葉轉換的公式：

$\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

(2)等號兩邊對f微分

${\frac {d\mathrm {X} (f)}{df}}={\frac {d}{df}}\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)[{\frac {d}{df}}e^{-j2\pi ft}]\,dt$

= $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)-j2\pi te^{-j2\pi ft}]\,dt$

= $(-j2\pi )\int _{-\infty }^{\infty }[t\chi (t)]e^{-j2\pi ft}]\,dt$

= $(-j2\pi )\Im t{\chi (t)}$

故 $t\chi (t)\leftrightarrow {\frac {1}{-j2\pi }}{\frac {d\mathrm {X} (f)}{df}}$

範例5.15

試求下圖x(t)的傅立葉轉換。

                              © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

【解】

      (1) $\chi (t)$ =(t) rect $({\frac {f}{2}})$ 
     (2)已知 $\Im$ {rect $({\frac {f}{2}})$ }=2sinc(2f)  (2sa( $\omega$ ))
     (3)故 $\Im$  { $\chi (t)$ }= $\Im$  {t rect $({\frac {f}{2}})$ }
       = ${\frac {1}{-j2\pi }}{\frac {d}{df}}{2sinc(2f)}$        ((j) ${\frac {d}{d\omega }}2sa(\omega ))$ )

=j ${\frac {2\pi f\cos(2\pi f)-\sin(2\pi f)}{2\pi ^{2}f^{2}}}$ (j2 ${\frac {\omega \cos \omega -\sin \omega }{\omega ^{2}}}$ )

                             © Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed., Prentice Hall International, 2000.

傅立葉轉換定理(5) —共軛複數

已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)$ $(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$

則 $\chi ^{*}(t)\leftrightarrow \mathrm {X} ^{*}(-f)$ $(\mathrm {X} _{\omega }^{*}(-\omega ))$

                      明顯的，當x(t)為實數時， $\chi ^{*}(t)=\chi (t)$ 故 $\mathrm {X} ^{*}(-f)=\mathrm {X} (f)$ 即 $\mathrm {X} (-f)=\mathrm {X} ^{*}(f_{0})$

【證明】 $\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

      $\Longleftrightarrow \mathrm {X} (-f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{j2\pi ft}\,dt$ 
     $\Longleftrightarrow \mathrm {X} ^{*}(-f)$ =[ $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{j2\pi ft}\,dt$ ]*
 = $\int _{-\infty }^{\infty }\chi ^{*}(t)e^{-j2\pi ft}]\,dt$ 
 = $\Im$  { $\chi ^{*}(t)$ }

傅立葉轉換定理(6) —對偶性(duality)

已知： $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)$ $(\mathrm {X} _{\omega }(\omega ))$

則 $\mathrm {X} (t)\leftrightarrow \chi (-f)$

$\mathrm {X} _{\omega }(t)\leftrightarrow 2\pi x(-\omega )$

【證明】】 $\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (f)e^{j2\pi ft}\,df$

      $\Longleftrightarrow \chi (-t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (t)e^{-j2\pi ft}\,df$ 
                                            變數t與f互換

     $\Longleftrightarrow \chi ^{*}(-f)$ = $\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
   = $\Im$  { $\mathrm {X} (t)$ }

範例5.16

試求的傅立葉轉換。 $\chi _{b}(t)=2Wsinc(2Wt)$ 【解】：(1)已知 $\chi _{a}(t)$ =rect( ${\frac {t}{\tau }}$ ) $\leftrightarrow \mathrm {X} _{a}(f)=\tau$ sinc( $\tau f$ )

(2)依據對偶性知： $\mathrm {X} _{a}(t)=\tau$ sinc( $\tau t$ ) $\leftrightarrow \chi _{a}(-f)$ =rect( ${\frac {-f}{\tau }}$ )=rect( ${\frac {f}{\tau }}$ )rect為偶函數

(3)將上式 $\tau$ 用2W代可得 $\chi _{b}(t)=\mathrm {X} _{a}(t)\mid _{\tau }=2W$ $\leftrightarrow <math>\mathrm {X} _{b}(f)=\chi _{a}(-f)\mid _{\tau }=2W$ =2Wsinc(2Wt) =rect( ${\frac {f}{2W}}$ )

                       © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

傅立葉轉換定理(7) —時移(time shift)

已知：

X(T) $\leftrightarrow$ x(f) $(X_{\omega }(\omega ))$

則

$x(t-t_{0})\leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_{0}}(X_{\omega }(\omega )e^{-j\omega t_{0}})$

訊號在時間軸上平移(訊號超前或延遲)在頻域的效果相當於在原訊號的相位頻譜加上一個線性變化量 $-2\pi ft_{0}$ ，此變化量稱為傅立葉轉換X(f)的線性相位平移(linear phase shift) 。

$\Im$ { $x(t-t_{0})$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }x(t-t_{0})e^{-j2\pi ft}\,dt$ = $(\Rightarrow$ 令 $\tau =t-t_{0},t=\tau +t_{0}\Rightarrow d\tau =dt)\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi f(\tau +t_{0})}\,d\tau$ = $e^{-j2\pi ft_{0}}\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau$ = $e^{-j2\pi ft_{0}}X(f)$

範例5.17

已知 $\Im$ { $\delta (t)$ } = 1，試求 $\delta (t-t_{0})$ 的傅立葉轉換。

【解】

$\Im$ { $\delta (t-t_{0})$ } = $e^{-j2\pi ft_{0}}$ $\Im$ { $\delta (t)$ } = $e^{-j2\pi ft_{0}}*1$ = $e^{-j2\pi ft_{0}}$

範例5.18

重複範例5.4，試求 $x_{b}(t)=rect(t+{\frac {1}{2}})-rect(t-{\frac {1}{2}})$ 的傅立葉轉換。

【解】：

(1)已知 $rect(t)\leftrightarrow \sin c(f)$

(2)根據時移定理知:

$rect(t+{\frac {-1}{2}})$ $\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f({\frac {-1}{2}})}$ = $\sin c(f)e^{j\pi f}$

$rect(t-{\frac {1}{2}})$ $\leftrightarrow \sin c(f)e^{-j2\pi f({\frac {1}{2}})}$ = $\sin c(f)e^{-j\pi f}$

(3)故

$\Im$ { $x_{b}(t)$ } = $\Im$ { $rect(t+{\frac {1}{2}})$ } - $\Im$ { $rect(t-{\frac {1}{2}})$ } = $\sin c(f)[e^{j\pi f}-e^{-j\pi f}]$ = $\sin c(f)2j\sin(\pi f)$ = $\sin c(f)2j\pi f{\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}$ = $j2\pi f\sin c^{2}(f)$

時移定理補充說明

由時移定理知，對於 $t_{0}$ 時間的延遲將會造成 $2\pi ft_{0}$ 的相移，此一相移量與頻率 f 成正比。也就是說，針對 $t_{0}$ 時間的延遲，訊號的高頻成分會有較大的相位移，而低頻部分則相移較小。

傅立葉轉換定理(8) —頻移(frequency shift)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega )$

則

$x(t)e^{j2\pi f_{0}t}\leftrightarrow X(f-f_{0})$

$x(t)e^{j\omega _{0}t}\leftrightarrow X_{\omega }(\omega -\omega _{0}))$

訊號在時域乘上ㄧ複指數訊號 $e^{j2\pi f_{0}t}$ ，在頻域的效果相當於訊號的頻譜在頻率軸上平移 $f_{0}$ 。

頻移定理與時移定理互為對偶定理。

【證明】

$\Im$ { $x(t)e^{j2\pi f_{0}t}$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{j2\pi f_{0}t}]e^{-j2\pi ft}\,dt$ == $\int _{-\infty }^{\infty }[x(t)e^{-j2\pi (f-f_{0})t}]\,dt$ = $X(f-f_{0})$

範例5.19—調變原理(modulation)

已知 $x(t)\leftrightarrow X(f)$ ，試求(a) $y_{1}(t)=x(t)\cos {2\pi f_{0}t}$ (b) $y2(t)=x(t)\sin {2\pi f_{0}t}$ 的傅立葉轉換。

【解】 (a)

(1) $y_{1}(t)=x(t)\cos {2\pi f_{0}t}$ = $x(t){\frac {e^{j2\pi f_{0}t}+e^{j2\pi f_{0}t}}{2}}$ = ${\frac {1}{2}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}+x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]$

(2) $\Im$ { $y_{1}(t)$ } = ${\frac {1}{2}}[\Im$ { $x(t)e^{j2\pi f_{0}t}$ }+ $\Im$ { $x(t)e^{-j2\pi f_{0}t}$ }] = ${\frac {1}{2}}$ { $X(f-f_{0})+X(f+f_{0})$ }

(b)

(1) $y_{2}(t)x(t)\sin {2\pi f_{0}t}$ = $x(t){\frac {e^{j2\pi f_{0}t}-e^{j2\pi f_{0}t}}{2j}}$ = ${\frac {1}{2j}}[x(t)^{j2\pi f_{0}t}-x(t)^{-j2\pi f_{0}t}]$

(2) $\Im$ { $y_{2}(t)$ } = ${\frac {1}{2j}}$ { $X(f-f_{0})-X(f+f_{0})$ }

範例5.20

試求 $x_{1}(t)$ = $rect({\frac {t}{2}})\cos {20\pi t}$ 的傅立葉轉換。

【解】已知 $rect({\frac {t}{2}})\cos 20\pi t\leftrightarrow 2\sin c(2f)$

故

$X_{1}(f)$ = $\Im$ { $x_{1}(t)$ } = $\sin c[2(f-10)]+\sin c[2(f+10)]$

傅立葉轉換定理(9) —旋積定理(convolution)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega )$

$y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega )$

則

$x(t)*y(t)$ = $\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow X(f)Y(f)(X_{\omega }(\omega )Y_{\omega }(\omega ))$

兩個訊號在時域做旋積運算相當於此二訊號在頻域相乘。

【證明】︰

(1)令 $z(t)=x(t)*y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda \Rightarrow Z(f)$ = $\Im$ { $z(t)$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )y(t-\lambda )\,d\lambda ]e^{-j2\pi ft}dt$ 交換積分順序 $\Rightarrow Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt]\,d\lambda$

【證明】

(2)根據時移定理： $\int _{-\infty }^{\infty }y(t-\lambda )e^{-j2\pi ft}dt=Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }$

(3)故 $Z(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )Y(f)e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda =[\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )e^{-j2\pi f\lambda }\,d\lambda ]Y(f)=X(f)Y(f)$

範例5.21

試求方波 $x(t)=rect({\frac {t}{\tau }})$ 自己做旋積運算後的傅立葉轉換。

【解】

(1)已知 $rect({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau \sin c(\tau f)$

(2)令 $y(t)=x(t)*x(t)=rect({\frac {t}{\tau }})*rect({\frac {t}{\tau }})$

根據旋積定理知： $Y(f)$ = $\Im$ { $y(t)$ } = $\Im$ { $x(t)*x(t)$ } = $X(f)X(f)$ = $\tau ^{2}\sin c^{2}(\tau f)$

範例5.22—三角波的傅立葉轉換

定義：

$x(t)$ = $\Lambda ({\frac {t}{\tau }})$ $\equiv$ ${\begin{cases}{1-|t|/\tau },&{|t|<\tau }\\0,&other\end{cases}}$

試求其傅立葉轉換。

【解】

(1)根據旋積運算公式及三角波的定義知： $rect({\frac {t}{\tau }})*rect({\frac {t}{\tau }})=\tau \Lambda ({\frac {t}{\tau }})$

(2)又由範例5.21可知：： $rect({\frac {t}{\tau }})*rect({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau ^{2}\sin c^{2}(\tau f)$

(3)故 $\tau \Lambda ({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau ^{2}\sin c^{2}(\tau f)\Leftrightarrow \Lambda ({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow \tau \sin c^{2}(\tau f)$

系統的轉換函數(transfer function)

一線性非時變系統對輸入訊號 x(t) 的響應可表示為

其中h(t) 為系統的單位脈衝響應

將 $y(t)=x(t)*h(t)$ 取傅立葉轉換可得： $Y(f)=X(f)H(f)$

其中 $H(f)$ = $\Im$ { $h(t)$ }

H(f)稱為系統的轉換函數(transfer function) ；或稱為系統的頻率響應(frequency response) 。

傅立葉轉換定理(10) —乘積定理(multiplication)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

$y(t)\leftrightarrow Y(f)(Y_{\omega }(\omega ))$

則

$x(t)y(t)\leftrightarrow X(f)*Y(f)({\frac {1}{2\pi }}X_{\omega }(\omega )*Y_{\omega }(\omega ))$

明顯的，乘積定理與旋積定理互為對偶定理。

【證明】︰

$\Im$ { $x(t)y(t)$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ = $\int _{-\infty }^{\infty }[\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )e^{j2\pi \lambda t}dt]y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )[\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi (f-\lambda )t}dt]d\lambda$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(\lambda )Y(f-\lambda )d\lambda$ = $X(f)*Y(f)$

範例5.23

試求餘弦脈波函數(cosinusoidal pulse)

$x(t)=Arect({\frac {t}{\tau }})\cos {2\pi f_{0}t}$

的傅立葉轉換。

【解】

(1)已知 $Arect({\frac {t}{\tau }})\leftrightarrow A\tau \sin c(\tau f)$ $\cos(2\pi f_{0}t)\leftrightarrow {\frac {1}{2}}$ { $\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})$ }

(2)依據乘積定理可知：

$X(f)$ = $\Im$ { $x(t)$ } = $\Im$ { $Arect(frac{t}{\tau })$ } * $\Im$ { $\cos(2\pi f_{0}t)$ } = $A\tau \sin c(\tau f)$ * ${\frac {1}{2}}$ { $\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})$ } $(\Rightarrow f(x)*\delta (x\pm x_{0})=f(x\pm x_{0})$ = ${\frac {A\tau }{2}}$ { $\sin c[\tau (f-f_{0})]+\sin c[\tau (f+f_{0})]$ }

傅立葉轉換定理(11) —時域微分(time-domain differentiation)

已知：

$x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

若 x(t) 可微分，則

${\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}$ $\leftrightarrow$ $(j2\pi f)^{n}X(f)((j\omega )^{n}X_{\omega }(\omega ))$

在時域對 x(t) 作微分相當於在頻域乘上 $(j2\pi f)$ 。由於 $(j2\pi f)$ 的大小與頻率 f 成正比，故頻率越高的成分將會乘上越大的倍數。也就是說，微分的動作會對高頻有放大的效果。

時域微分定理與定理(4)乘上 $t^{n}$ 定理互為對偶定理。

【證明】

(1)已知 $x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df$

(2)等號兩邊分別對 t 微分： ${\frac {dx(t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}[\int _{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}\,df]$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(f){\frac {d}{dt}}(e^{j2\pi ft})\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }X(f)(j2\pi f)e^{j2\pi ft}\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }[(j2\pi f)X(f)]e^{j2\pi ft}\,df$

【證明】

(3)故 ${\frac {dx(t)}{dt}}\leftrightarrow (j2\pi f)X(f)$

(4)重複上述步驟可得 ${\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}\leftrightarrow (j2\pi f)^{n}X(f)$

傅立葉轉換定理(12) —時域積分(time-domain integration)

已知： $x(t)\leftrightarrow X(f)(X_{\omega }(\omega ))$

則

$\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow {\frac {1}{j2\pi f}}X(f)+X(0)\delta (0)$

$({\frac {1}{j\omega }}X_{\omega }(\omega )+X_{\omega }(0)\delta (\omega ))$

在時域對 x(t) 作積分相當於在頻域除以 $(j2\pi f)$ ，故積分會衰減訊號的高頻部份。

公式中， $X(0)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ ,dt$ 。若 $X(0)=0$ ，則公式可簡化為： $\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda \leftrightarrow {\frac {1}{j2\pi f}}X(f)({\frac {1}{j\omega }}X_{\omega }(\omega ))$

【證明】

(1)根據旋積運算的定義： $x(t)*u(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\lambda )u(t-\lambda )\ ,d\lambda =\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda$

(2) $\Im$ { $\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda$ } = $\Im$ { $x(t)*u(t)$ }

【證明】︰

(3)根據旋積定理： $\Im$ { $\int _{-\infty }^{t}x(\lambda )\,d\lambda$ } = $\Im$ { $x(t)*u(t)$ } = $\Im$ { $x(t)$ } $\Im$ { $u(t)$ } = $X(f)[{\frac {1}{j2\pi f}}+{\frac {1}{2}}\delta (f)]$ = ${\frac {1}{j2\pi f}}X(f)+{\frac {1}{2}}X(f)\delta (f)$ = ${\frac {1}{j2\pi f}}X(f)+{\frac {1}{2}}X(0)\delta (f)$

範例5.24

試求下圖 x(t) 的傅立葉轉換。

【解法1】 (1)令 $y(t)={\frac {dx(t)}{dt}},z(t)={\frac {dy(t)}{dt}}\Rightarrow x(t)=\int _{-\infty }^{t}y(\lambda )\,d\lambda ,y(t)=\int _{-\infty }^{t}z(\tau )\,d\tau$

(2)由上圖知： $z(t)=K[\delta (t+b)-\delta (t+a)-\delta (t-a)+\delta (t-b)]$

其中( $K={\frac {dx(A)}{b-a}}$ )

故

$Z(f)$ = $\Im$ { $z(t)$ } = $K[e^{j2\pi fb}-e^{j2\pi fa}-e^{-j2\pi fa}+e^{-j2\pi fb}]$ = $2K[\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}]$

(3)根據時域積分定理：

$y(t)=\int _{-\infty }^{t}z(\tau )\,d\tau$

$\Rightarrow Y(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Z(f)+{\frac {1}{2}}Z(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]$

(4)因 $x(t)=\int _{-\infty }^{t}y(\lambda )\,d\lambda$ ，再一次利用時域積分定理：

$X(f)={\frac {1}{j2\pi f}}Y(f)+{\frac {1}{2}}Y(0)\delta (f)=2K[{\frac {\cos {2\pi fb}-\cos {2\pi fa}}{j2\pi f}}]+0$ $(\Rightarrow Y(0)=\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\,dt=0,\cos 2\theta =1-2\sin ^{2}\theta )$ = $2K{\frac {(1-2\sin ^{2}\pi fb)-(1-2\sin ^{2}\pi fa)}{-(2\pi f)^{2}}}$ = $K{\frac {\sin ^{2}\pi fb-\sin ^{2}\pi fa}{(\pi f)^{2}}}$ = K[ $b^{2}\sin c^{2}(fb)-a^{2}\sin c^{2}(fa)$ ]

【解法2】

(1)由圖可知： $X(t)=B\Lambda ({\frac {t}{b}})-(B-A)\Lambda ({\frac {t}{a}})$

其中 $B={\frac {Ab}{(b-a)}}$

(2)故 $X(f)$ = $\Im$ { $x(t)$ } = B $\Im$ { $\Lambda ({\frac {t}{b}})$ } - $(B-A)$ $\Im$ { $\Lambda ({\frac {t}{a}}$ } = $Bb\sin c^{2}(bf)-(B-A)a\sin c^{2}(af)$

訊號與系統/傅立葉轉換的定理

傅立葉轉換定理(1) —線性(linearity)

範例5.11

範例5.12

傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

傅立葉轉換定理(2)-時間比例調整(time scaling)

範例5.13

傅立葉轉換原理(3.)—時間反轉(time reversal)

範例5.14

傅立葉轉換定理(4) —乘上 t n {\displaystyle t^{n}}

範例5.15

傅立葉轉換定理(5) —共軛複數

傅立葉轉換定理(6) —對偶性(duality)

範例5.16

傅立葉轉換定理(7) —時移(time shift)

範例5.17

範例5.18

時移定理補充說明

傅立葉轉換定理(8) —頻移(frequency shift)

範例5.19—調變原理(modulation)

範例5.20

傅立葉轉換定理(9) —旋積定理(convolution)

範例5.21

範例5.22—三角波的傅立葉轉換

系統的轉換函數(transfer function)

傅立葉轉換定理(10) —乘積定理(multiplication)

範例5.23

傅立葉轉換定理(11) —時域微分(time-domain differentiation)

傅立葉轉換定理(12) —時域積分(time-domain integration)

範例5.24

傅立葉轉換定理(4) —乘上 $t^{n}$