統計學/独立样本四格表资料的χ²检验

χ²检验可以用于检验两个样本的总体频率分布是否相同。

2×2列联表χ²检验的基本思想

表1 独立样本资料的四格表

组别	属性		合计
	Y1	Y2
甲	a（T11）	b（T12）	n1=a+b（固定值）
乙	c（T21）	d（T22）	n2=c+d（固定值）
合计	m1=a+c	m2=b+d	n=a+b+c+d

这样的数据形式称为2×2列联表（2×2 contingency table）。因为此表格的基本数据分布在a、b、c、d四个格子中，故又称之为四格表。
在假设H₀成立的条件下，表1中的两样本的总体分布相等。由于总体分布未知，用两样本联合计算的频率分布作为总体分布的近视：属性Y₁的理论频率近似地等于m₁/n，属性Y₂的理论频率近似地等于m₂/n。
于是，H₀成立的条件下，四格表中每一格相应的理论频数分别近似地等于
T₁₁=$n_{1}\left({\frac {m_{1}}{n}}\right)$=${\frac {n_{1}m_{1}}{n}}$,T₁₂=$n_{1}\left({\frac {m_{2}}{n}}\right)$=${\frac {n_{1}m_{2}}{n}}$
T₂₁=$n_{2}\left({\frac {m_{1}}{n}}\right)$=${\frac {n_{2}m_{1}}{n}}$,T₂₂=$n_{2}\left({\frac {m_{2}}{n}}\right)$=${\frac {n_{2}m_{2}}{n}}$
一般地，理论频数T_ij的计算公式为
T_ij=${\frac {n_{i}m_{j}}{n}}$（i=1,2;j=1,2）[1]
式中n为总例数，n_i是第I行的合计数，m_j是第j列的合计数。
如果H₀成立，当观察个数n较大时，样本观察频数与理论频数应当相去不远。每一格的样本观察频数A_ij与理论频数T_ij之间的差异，可运用下面的式[2]计算统计量χ²来衡量。
χ²=$\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\frac {(A_{ij}-T_{ij})^{2}}{T_{ij}}}$（i=1,2;j=1,2）[2]
可以证明，H₀成立时，统计量χ²近似服从自由度为v=1的χ²分布。自由度的计算公式为：v=（行数-1）×（列数-1）。

2×2列联表χ²检验的基本步骤