相對論/E=mc2

基本物理量的定義

	相對論	牛頓力學	說明
速度v(向量)	${\frac {dx}{dt}}$	${\frac {dx}{dt}}$	位置對時間微分
加速度a(向量)	${\frac {dv}{dt}}$	${\frac {dv}{dt}}$	速度對時間微分
力F(向量)	${\frac {d(mv)}{dt}}$	$ma=m*{\frac {dv}{dt}}$	動量mv對時間微分， 牛頓力學中$m$為常數
功與能(純量)	$F*dx$	$F*dx$	施力*位移

一、第一組推導：以「微分『功』的定義來主導」

運用 ${\frac {dx^{2}}{dx}}=2x$ 則 ${\frac {dx}{dx^{2}}}={\frac {1}{2x}}$

(一)微分相對論質量

1. 由 $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 得 $m^{2}={\frac {m_{0}^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {m_{0}^{2}}{\frac {c^{2}-v^{2}}{c^{2}}}}={\frac {m_{0}^{2}c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}$ 移項後得
   $m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2}=m_{0}^{2}c^{2}$ 或 $m^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{2}+m^{2}v^{2}$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_{0}$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_{0}^{2}c^{2}$ 對時間微分會得 0 ，所以 ${\frac {d(m^{2}*c^{2})}{dt}}={\frac {d(m^{2}*v^{2})}{dt}}$，化簡得 $d(m^{2}*c^{2})=d(m^{2}*v^{2})$，代入(二)

(二)微分「功」的定義

$dE_{k}=F*{dx}={\frac {d(m*v)}{dt}}{dx}=d(m*v)*v={\frac {d(m^{2}v^{2})}{d((mv)^{2})}}*d(m*v)*v=d(m^{2}v^{2})*{\frac {d(mv)}{d((mv)^{2})}}*v$
$=d(m^{2}v^{2})*{\frac {1}{2mv}}*v=d(m^{2}v^{2})*{\frac {1}{2m}}=d(m^{2}v^{2})*{\frac {dm}{dm^{2}}}=d(m^{2}v^{2})*{\frac {dm*c^{2}}{dm^{2}*c^{2}}}=dm*c^{2}*{\frac {d(m^{2}v^{2})}{d(m^{2}c^{2})}}$由於(一)所以
$=dm*c^{2}$

(三)動能

對 $dE_{k}$ 積分得相對論動能 $E_{k}={\int _{m_{0}}^{m}c^{2}\,dm}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$

二、第二組推導：以「微分『功』的定義來主導(展開再合併)」

(一)微分「功」的定義

$dE_{k}=F*{dx}={\frac {d(m*v)}{dt}}{dx}=d(m*v)*v=(dm*v+m*dv)*v=dm*v^{2}+m*v*dv$
$={\frac {2m*dm*v^{2}+2m*m*v*dv}{2m}}={\frac {2m*dm*v^{2}+2v*dv*m^{2}}{2m}}={\frac {d(m^{2})*v^{2}+d(v^{2})*m^{2}}{2m}}$
$={\frac {d(m^{2}v^{2})}{\frac {d(m^{2})}{dm}}}=dm*{\frac {d(m^{2}v^{2})}{d(m^{2})}}=dm*c^{2}{\frac {d(m^{2}v^{2})}{c^{2}*d(m^{2})}}=dm*c^{2}{\frac {d(m^{2}v^{2})}{d(m^{2}c^{2})}}=dm*c^{2}$

(二)微分相對論質量

1. 由 $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 得 $m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2}=m_{0}^{2}c^{2}$ 或 $m^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{2}+m^{2}v^{2}$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_{0}$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_{0}^{2}c^{2}$ 對時間微分會得 0 ，所以 ${\frac {d(m^{2}*c^{2})}{dt}}={\frac {d(m^{2}*v^{2})}{dt}}$，化簡得 $d(m^{2}*c^{2})=d(m^{2}*v^{2})$，代入上式
3. 對其積分得相對論動能 $E_{k}={\int _{m_{0}}^{m}c^{2}\,dm}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$

三、第三組推導：兩路並進

(一)微分「功」的定義

$dE_{k}=F*{dx}={\frac {d(m*v)}{dt}}{dx}=d(m*v)*v=(dm*v+m*dv)*v=dm*v^{2}+m*v*dv=$相對論質量$=dm*c^{2}$

(二)微分相對論質量

1. 由 $m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 得 $m^{2}c^{2}-m^{2}v^{2}=m_{0}^{2}c^{2}$ 或 $m^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{2}+m^{2}v^{2}$
2. 等號兩邊都對 t 微分，由於 $m_{0}$ 和 $c$ 都不會隨時間變化，$m_{0}^{2}c^{2}$ 對時間微分會得 0 ，所以 ${\frac {d(m^{2}*c^{2})}{dt}}={\frac {d(m^{2}*v^{2})}{dt}}$，化簡得 $d(m^{2}*c^{2})=d(m^{2}*v^{2})$
3. c 為常數，m、v均為變數，化簡上式得 $d(m^{2})*c^{2}=d(m^{2})*v^{2}+m^{2}*d(v^{2})$
4. 用鏈式法則得 ${\frac {dm^{2}}{dm}}*dm*c^{2}={\frac {dm^{2}}{dm}}*dm*v^{2}+m^{2}*{\frac {d(v^{2})}{dv}}*dv$
5. 化簡上式得 $2m*dm*c^{2}=2m*dm*v^{2}+m^{2}*2v*dv$
6. 三項同除以 2m 得 $dm*c^{2}=dm*v^{2}+m*v*dv$
7. 代入第上段式得：$dE_{k}=dm*v^{2}+m*v*dv=dm*c^{2}$
8. 對其積分得相對論動能 $E_{k}={\int _{m_{0}}^{m}c^{2}\,dm}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$