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测度论初步

本书的目的是介绍初步的测度论知识,为实变函数、公理概率论等其它数学分支的学习做准备。

本书对读者的设定为:假定读者为数学系本科生,能够接受比较抽象的数学语言,了解微积分的基本思想,但在知识上不要求读者系统的学习过数学分析或实分析。

编写者可参考或编辑格式指南,以便使用模板等工具。

目录

前言编辑

测度是点集上的实函数,它是长度、面积、体积等度量的推广,和古典的概念相比,它可以使我们在更一般的点集上讨论诸如长度、面积、体积这样的概念,例如[0,1]上所有有理数构成的集合的长度。

几个出于直觉的要求是:1)空集的测度是0,2)测度是正定的,3)测度可以相加减。第3条需要做一点说明,比较直观的要求是:若 是测度则 。这自然对 的定义域提出了要求,即对于交、并、差封闭。更进一步的,我们希望使用极限等工具讨论比较复杂的点集,因而要求得比上面更高一点,即 的定义域对于集合的极限运算也封闭,这样它就构成一个 σ-环,是我们第一章讨论的内容。有了这个基础之后,我们再讨论测度的正式定义即基本性质。接下来两章讨论怎样定义一个测度,最后作为一个特例,讨论勒贝格测度。

环、 σ-环编辑

设X是一个集合,那么它的所有子集够成的集合称为X的幂集,记作 ,为了强调它以集合为元素,我们把 及其真子集都称为集类,相应的X称为基本空间。

:若A是基本空间X的子集构成的集类,并且对于并和差这两种运算封闭,即 ,且当 时总有  ,那么称A是一个环。

(可以验证,如果以对称差为加法,以集合的交为乘法,上述定义符合代数中不要求单位元的环的公理。)由上述定义显然有

定理1.1 环对集合的有限交封闭
证明:

 ,于是  . 由环的定义,它对并和差封闭,故而 .

O

如前所述,我们还希望引入集合的极限运算,以便将来讨论极限下的测度,为此定义σ-环如下

σ-环:若A是环,并且对于可列并封闭,即 总有 ,那么称A是一个σ-环。


显然有

定理1.2 σ-环对集合的可列交封闭
证明:

 ,于是  . 由环的定义,它对并和差封闭,故而 .

O

生成环和生成σ-环编辑

注意到环(σ-环)的任意交仍是环(σ-环),可以定义任意集类的生成环(σ-环)。

集类E生成的环和σ-环分别记作R(E)和S(E),不难证明:S(R(E))=S(E)。

如果定义 ,  ,其中  ,则有

定理1.3  
证明:

由R(E)的定义与R_{n}的构造方式,显然R(E)\subset R_{n}。

另一方面, 

不妨设  

那么 

从而 对并和差封闭,是包含E的环,从而R(E)\subset R_{n}。

综合以上两方面,有 

O

生成 σ-环的构造可以用类似的思想得到,不过需要超限数,暂不讨论。

环上的测度编辑

外测度编辑

测度的延拓编辑

勒贝格测度编辑