有理数的除法

对于有理数a和b，$b\neq 0$，若有理数c满足$c\cdot b=a$，则称c为a及b的商。

性质

• 存在性：若有理数$b\neq 0$，则有理数a及b的商必存在。
• 唯一性：若有理数a及b的商存在，则商必唯一。

证明

• 证明商的存在性

设有理数a和b，$b\neq 0$，则

由倒数的定义，存在b的倒数${\frac {1}{b}}$，满足$b\cdot {\frac {1}{b}}=1$

令有理数$c=a\cdot {\frac {1}{b}}$，则

$c\cdot b=a\cdot {\frac {1}{b}}\cdot b=a\cdot 1=a$符合商的定义，

因而$c=a\cdot {\frac {1}{b}}$是a及b的商

即商存在

• 证明商的唯一性

若a及b的商存在，不妨设商为c，则

$c\cdot b=a$

由$b\neq 0$，两边乘以b的倒数${\frac {1}{b}}$，得

$c\cdot b\cdot {\frac {1}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}}$

从而$c\cdot 1=a\cdot {\frac {1}{b}}$

$c=a\cdot {\frac {1}{b}}$

也就是说，若商存在，则必等于$a\cdot {\frac {1}{b}}$

即商是唯一的

记号

由商的存在性及唯一性，可以将其记为$a:b$，${\frac {a}{b}}$或$a\div b$

参阅

• 有理数的乘法

参考文献

• 微积分学教程，(第一卷)(第8版)，第4、5页，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥尔茨 著，杨弢亮 叶彦谦 译，郭思旭 较，高等教育出版社