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截长补短法

定义编辑

在一个平面几何图形内,延长或截取某一条线段,使线段所在的三角形与平面内某一三角形成为全等三角形。

用法编辑

证明两条线段的和差,80%的情况都要用截长补短法,20%的情况用常规方法。

例题编辑

 
截长补短法例图

例1:如图1,正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,∠EAF=45。求证:EF=DE+BF。

解:延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。

从而可证得ADG≌ABF(SAS)。

从而可以得出∠GAD=∠FAB

因为∠GAD=∠FAB

所以∠GAF=90(等量代换)

因为∠GAF=90,∠EAF=45

所以∠GAE=∠EAF=45

从而△EAG≌△EAF(SAS)

所以EF=GE

=GD+DE

=BF+DE

例2:如图2,已知AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求∠AEB的度数。

解:向AE方向延长AE,交BC的延长线于F。

因为平行,所以∠1=∠F

从而△AED≌△CEF

从而AB

=AD+BC

=CF+BC

=BF

因为等腰三角形三线合一,所以BE⊥AF,从而∠AEB=90

例3:如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD平分∠BAC。求证:AB+BD=AC。

证明:在AC上截取AE=AB,连接DE。

从而△ABD≌△AED(SAS)

从而BD=DE,∠B=∠3

因为∠B=2∠C

从而∠3=2∠C

而2∠C=∠4+∠C

所以∠C=∠4

已证明DE=CE,BD=CE

所以AB+BD=AC

例4:如图,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180。求证:CD=CB。

在AB上找一点E,使AE=AD,连接CE。

因为AC平分∠DAB

从而△ACD≌△ACE(SAS)

所以∠ADC=∠AEC

因为∠AEC+∠B=180,∠CEB+∠AEC=180

所以∠B=∠CEB

所以CE=CB

从而CD=CB