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开方是乘法的逆运算,是第5种算法,现在一般都是借助计算机计算。以前是利用牛顿二项式定理开方,现在有开平方公式和开立方公式。 参考文献:【数学传播】136期,从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法

求方根公式编辑

 = 

开立方公式编辑

  

  例如,A=5,k=3,即求: 

   5介于  之间(1的3次方=1,2的3次方=8)

  初始值 可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我们取 按照公式:

  第一步: =1.75。输入值大于输出值,负反馈;

即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75×1/3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。

  第二步: =1.71.输入值小于输出值,正反馈。

即5/1.7×1.7=1.73010,1.7301-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。

  第三步: =1.709.

  第四步: =1.7099

  这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值

偏小,输出值自动转大。即 .

  当然初始值 也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一个,都是 。當然,我們在實際中初始值最好採用中間值,即1.5。 =1.7。


开平方公式编辑

如果用這個公式開平方,只需將 改成 ,1/3改成1/2。即

 

例如,A=5:

5介於  之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取

中間值2.5。

第一步: =2.2;

即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。

第二步: =2.23; 即5/2.2=2.272727,2.272727-2.2=-0.072727,-0.072727×1/2=-0.036363,2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步: =2.236;

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。

这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。