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圓錐曲線

圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线

  1. 椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。   2. 双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。   3. 抛物线:到一个定点(定点在定直线外)和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。 4. 圆锥曲线的统一定义:到定点(定点在定直线外)的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆:当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。

·圆锥曲线由来:圆,椭圆,双曲线,抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前,古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”,把双曲线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲线”。

·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程: 1)直线 参数方程:x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t为参数) 直角坐标:y=ax+b 2)圆 参数方程:x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ为参数 ) 直角坐标:x^2+y^2=r^2 (r 为半径) 3)椭圆 参数方程:x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数 ) 直角坐标(中心为原点):x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 4)双曲线 参数方程:x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 ) 直角坐标(中心为原点):x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴) y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴) 5)抛物线 参数方程:x=2pt^2 y=2pt (t为参数) 直角坐标:y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ) x=ay^2+by+c (开口方向为x轴, a<>0 )


圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中e表示离心率,p为焦点到准线的距离。

焦点到最近的准线的距离等于ex±a

。圆锥曲线的焦半径(焦点在x轴上,F1 F2为左右焦点,P(x,y),长半轴长为a) 椭圆:椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex

双曲线: P在左支,|PF1|=-a-ex |PF2|=a-ex P在右支,|PF1|=a+ex |PF2|=-a+ex P在下支,|PF1|= -a-ey |PF2|=a-ey P在上支,|PF1|= a+ey |PF2|=-a+ey 圆锥曲线的光学性质: 1)椭圆:点光源在一个焦点上,光线通过另一个焦点。 2)双曲线:点光源在一个焦点上,反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。 3)抛物线:点光源在焦点上,反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用:探照灯。