数论 > 初等数论 > 初等數論/其餘不定方程
若 a , b {\displaystyle a,b} 為直角三角形的兩邊(股),而 c {\displaystyle c} 為斜邊,則必存在關係式: a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} ,若 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 皆為正整數,則稱數組 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 為畢氏三元數,另一方面,若 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 為正整數,則 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 可由以下關係式給出(以下 u , v {\displaystyle u,v} 亦為整數):
其中若 ( u , v ) = 1 {\displaystyle (u,v)=1} ,則 ( a , b , c ) = 1 {\displaystyle (a,b,c)=1}
對於上述畢氏三元數的關係式的證明:
此外,有個由畢氏定理衍生出來的定理:
a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} ,對於大於等於 3 {\displaystyle 3} 的正整數 n {\displaystyle n} ,找不到非零的整數 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ,使得此關係式成立(意即若 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 皆為整數,在 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 的狀況下,至少有一個為零此關係式才成立)
這個定理叫費馬最後定理
每個自然數可表示成最多 4 {\displaystyle 4} 个平方數的和,即對於所有的自然數 n {\displaystyle n} ,必可找到四個自然數(包括 0 {\displaystyle 0} ) a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} ,使 n = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 {\displaystyle n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}} 成立,另一方面,若兩個數字可表為四個平方數的和,則他們的乘積亦為四個平方數的和,因此若要證明四平方數定理對每個自然數都成立,那麼只需要證明這個定理對所有質數都成立就可以了。 以下為四平方和定理的證明:
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